Posted by on 2017年3月21日

摘要

时隔很久,终于看了《数学之美》,不得不说这本书给我的震撼并没有《浪潮之巅》大,感觉后者迎合了我当时对IT行业几乎一无所知的状态,而前者的很多方法我已经学习过了,新奇感会降低很多。但是对于那些大师的胸怀还是深受感染,也给我最近不佳的状态些许指引。对于理论技术方面自己的了解还很浅显,可分享的内容不多,更多地,想分享自己对于学习状态和接触数学以来的感悟,希望可以让读者有些共鸣。

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时隔很久,终于看了《数学之美》,不得不说这本书给我的震撼并没有《浪潮之巅》大,感觉后者迎合了我当时对IT行业几乎一无所知的状态,而前者的很多方法我已经学习过了,新奇感会降低很多。但是对于那些大师的胸怀还是深受感染,也给我最近不佳的状态些许指引。对于理论技术方面自己的了解还很浅显,可分享的内容不多,更多地,想分享自己对于学习状态和接触数学以来的感悟,希望可以让读者有些共鸣。

1.学数学

还记得跟数学分析初次见面,那种无所适从打破了我对高等数学的美丽幻想,就连对初等数学的基本认知也摧毁殆尽,对学习信心的打击着实不小。不过当时疲于适应新环境,对应试教育深感厌恶,抱着出来见见世面拿个文凭的心,也就不想过度追究这些了。但很诚实地说,恰恰是数学之美改变了我无比执拗的不再读书的想法。如今我在通信和计算机领域不断看到数学的威力,也因数学出身获益良多,从心里对数学充满敬意。

说起让我最开始感受到数学之美的学科,还正是第一次期中测试只得了42分的数学分析,当时觉得对于无穷的强大推理真的太厉害了,自己慢慢越学成绩也越好,对自己也很有鼓励。后面每每想到这个奇妙的事情就感到十分庆幸。其实一直到本科过大半,我都不是很能理解课程设计的合理性,感觉每个分支都自成体系,虽然也有结合,但我一直没能画出自己期待的整体大树,也是到了后面,我才在像数学物理方程、泛函分析这样的理论课程中看到了之前学的数学分析、高等代数、微分方程之类的影子,感觉就像是多方军队合力攻打难关,那种团结让我莫名觉得感动,也第一次觉得自己的积累还是有些作用的。

后续研究方向的选择本来志向在计算机,后面阴差阳错进入了通信的大坑。一开始由于数学基础不扎实,通信基础为零,完全没有感受到传说中数学背景跨学科的优势,那时候有一种流离失所的感觉,比较郁闷,想回去把数学的书再翻一遍,也想把通信的基础知识恶补一遍,不过适应期的我比较钝,所以最后也愣是硬生生把那些信号课学了下来。确实收获很多,提升很快。也是很幸运遇到不错的授课老师,有一次听一个数学出身的通信老师分享马尔科夫理论的美妙,顿时觉得神清气爽。我发现在信号相关的课程中自己看书比听老师讲课懂得多,工科思维和理科思维的差异确实比较大。对于物理概念的认识确实是数学人的一个弱项,但是慢慢学习总是可以理解的。

数学不比其他学科,她慢热朴实,很多学科动手能力很强,你可以一个月学会一门编程语言,甚至更快,输入几行代码就可以看到结果,之前我也接触了几门计算机的课程,也深深感受到那种魅力和接纳感。数学是一开始不会给你明确有说服力的理由,只会跟你说你来我这吧,在我这住下来,对你是有好处的,也不告诉你最后可以达到一个什么样的效果。于是可能一半的人就不会留下。住下来的人过了很久很久也不见得自己有什么的提升,也看不出自己跟住进其他屋子的人有什么差别,或者看到其他人水平提升的更高更快,觉得没指望,就搬出去了。这样又剩下一半的一半。接着住的人要么觉得这个还有点意思,要么是不甘心(我当时就是两者都有一点),于是又过了很久很久,这些人发现自己能做出来很多题了,看很多书也看懂了,以前学的也用上了,但是这又能怎么样呢,以后一直这样能干嘛呢,现在的定理已经那么多了,我能研究出来什么呢。于是又有一些人走了。剩下的人呢,就是你后面在其他的路走着走着走不通的时候抬起头突然看到的那些人。这期间,数学从来不用任何构想来诱惑你。

数学在众多学科中是很包容的,她不图你天赋异禀,只求你脚踏实地。她教给你一些基本的技能和素质,她允许并支持你去做你喜欢的事情,当你受到打击,筋疲力尽,她欢迎你随时回来。你出去,发现她教你的有一些可以用,有一些看起来并没有用。很多道理并不是她说的不对,只是你的经历还不足以去验证和意识到什么。在她的时间里,你可以永远停留在离开她的那一刻,当你再回来,一切又都继续。所以我越是在其他学科遇到困难,才越发觉得数学于我很像一位母亲。

对于正在学数学的人,我真的是很羡慕,不论你现在处在什么阶段,无论迷茫也好疲惫也好,真希望你能坚持下去,就仅仅享受数学之美带给你的震撼。没有一个学科可以保证你的前途,唯有热爱可以保证你的幸福感,如此,夫复何求?

2.

3.文字、语言和数学

其实不止一次对我们祖先设计语言的巧妙感到惊讶,那种自发的认识与我们现在的研究竟是如此共通,这样想想我们并没有进化。但这并不是令人失望的消息。在我看来,这说明我们秉承的数学规律也好,思维规律也好,生存规律也好,并没有脱离本初,其实是对我们良性进步的证明。无秩序的前进是很恐怖的。

对于自然语言处理的理解,其实我一开始的思路也是分析句法语义,对于统计方法,一开始看到觉得有些“偷懒”。对于统计的理论体系一开始不是很喜欢,感觉太简单没有数学逻辑推理的那种魅力。不过后面接触多了,发现其实不然。基于概率的统计方法真的是很巧妙,它使得很多复杂问题的研究变得可行,敢于从这个方面去探索的人也是很有想法和勇气。各种理论体系,包括人类的认知,都是源于经验,再漂亮的公式都是靠经验推导得到的。之前觉得所有数学定理都是通过其他公理的严谨推理得到的,但公理又何尝不是靠经验呢,《几何原理》也是基于几个普遍真理(也可以说是假设,假设的重要性毋庸置疑,毕竟天下没有免费的午餐)才得以扩展的。

对于贝叶斯公式,还记得第一次在模式识别里听到这个名词的时候还在纳闷,就是学过的那个公式么,那能有啥用啊,对于这个公式在分类问题上的效应我也是十分惊叹。感觉还是要归功于想到用这个思路解决问题的天才们,把事件发生抽象到联合概率,再把联合概率变为条件概率,基于马尔可夫合理简化,然后以大数定律将概率等效为频度,于是,问题就无比简单。这一系列过程真的再奇妙不过了。还记得我第一次听说马尔可夫链的时候,也是怀疑这种假设能用么,太简化了吧。不过后面看到他对求解问题的巨大效力以及其适用范围之广时,感觉简单之美真的无可比拟。虽然这种假设并不严谨,不符合我之前力求完美的执念,但是以一点点的不严谨换得问题解决的柳暗花明,何乐而不为呢?

4.信息论

算起来香农应该是我正式开始通信学习后第一个感到亲切的大师(而且他还无比帅,哈哈),对于熵的理论可以探索得如此全面,以至于多年后我学习《信息论》时还是当时那套理论,后人的补充优化也并没有动摇那棵树的主干,香农的数学思维以及在研究上的精力让我由衷钦佩。

可以从不确定性的角度考虑信息的价值,真的是一个天才的想法,能够把这些抽象想法概括成有条有理的理论体系就更天才了。像我想到信息这样的研究对象,只会去考虑其本身的语义句法,这其实很具化,很难得到一个普遍适用的规律。我的这种想法是从信息出发,考虑我要接触的这个东西是什么,而不是从我这个接受者出发,考虑信息能给我什么新的东西。能想到这里已经很厉害了,以此进行的信息压缩使得信息的大量远距传输变得可能。香农又进一步从传信息的“容器”上去考虑如何更有效地利用这个通道。好比快递系统,每个包裹尽可能小,每辆车的结构尽可能合理,包裹对车的空间利用尽可能充分,行车路线尽可能优化,行过一段路检查包裹是否完好,及时补救,保证运送质量。这一套运输线构想得真是完美,香农咋那么厉害呢。

不过对于熵的定义,我也难以想象香农是从什么角度入手得出现在的公式,希望有见解的读者可以分享解惑。

5.余弦定理

说到余弦定理,很难想象它能在解决问题上发挥大作用,但是当把研究对象放在空间中考虑(高等代数的魅力),事情就豁然开朗了。很多研究的目的是去寻找相似特性,这很自然想到距离度量,然后就到了余弦定理发挥作用的时候了。这里面还涉及到特征提取这个无比美妙的事情。感觉这个想法也是很符合人的认知过程,对所见事物去粗取精,分析其特征,把相同或相似的归到一类,认出他们的普遍规律,我们不正是这么成长起来的么。当然说到特征提取,矩阵这把万能钥匙一直都是功不可没的。

只考虑研究问题的对象和基本方法有时候会觉得八竿子打不着,经过的中间层比较多的时候更是如此。在研究的过程中要把握好最终目标,不然发散性思维容易把你带跑偏。很多探索之旅,在蓦然回首时,往往会出现一个不可思议的瞬间,但是细细品味又觉得无比自然。

6.离散数学

越发觉得研究出基础数学理论的人是天才。第一次接触离散数学的时候,也没有觉得有什么了不起。数理逻辑不就是把客观事物用逻辑符号表示出来,然后自然就可以引入计算了呀。但是,当后面意识到这使得用数学方法去研究事件成为可能,事件的处理得以形式化,于是像计算机这样的东西才能出来,然后我就觉得美妙了。至于图论,一开始我也只是觉得把事物之间的关系用图的形式表示出来了,这很简单呀。但是当复杂的方法(包括后面出现的神经网络)出现,它还是可以把其囊括进自己的体系,我就觉得这个东西了不得了。

我是很烦别人跟我用一大堆专业术语说事情,尤其是故意把事情说的天花乱坠营造一种自己很专业的感觉时。半年以前,我对于神经网络、深度学习、机器学习等等之类的名词还十分陌生,觉得一定是一套很高深的理论,还涉及了生物结构研究,听了一些介绍也都说的云里雾里,有种不明觉厉的感觉。接触以后一开始确实有些失望,跟我想的有些差距,里面的理论其实还是很朴素的。对于一些名词的命名问题,像香农对信息熵的定义采用了物理中的想法确实很妙,对于神经网络这样的描述也是很形象,不过讲述内容时还是应该单纯一些,在我看来,朴素才是真理的样子,本来就是基于人的生存衍生出来的最朴素的需求,也是从人的有限认知出发进行的最朴素的探索。做学问实在不应该哗众取宠。

7.学习是一辈子的事

这句话真是让现在的我很感动。之前一直被灌输这句话,认同却不打算执行,确实从心里觉得疲惫。数学为我打开了知识的魅力之门,于是我产生了继续学习的念头,这段旅程虽然还是会有绝望无助的时候,但想到自己还有那么长的时间学习,也是一种安慰。虽然现在很多理论很完善,但不必过分纠结自己的处境是不是很尴尬,立足于问题本身才是正道。积累总会有质变的时候,质变之后还是需要积累。数学之美往往后知后觉,是需要耐心的。仅以此文分享自己一些粗浅的见解,以此勉励自己。希望有幸可以接触数学的人都可以感受到那份美丽,更希望无论从事何种研究的人,都可以以热爱为出发点,任何学问总有其可爱之处,去探索,去发现,为这个世界做点事情,自己也会因此更加美好。

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Posted in: They say 它山石
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Comments

  1. baoduge
    2017年3月22日

    "没有一个学科可以保证你的前途,唯有热爱可以保证你的幸福感",说得很赞呀。

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